Henri Poincaré na fotografii opublikowanej w 1913 roku, w wydaniu Last Thoughts – matematyczny geniusz przełomu XIX i XX wieku, autor hipotezy nazwanej później jednym z Problemów Milenijnych.
W kolejnej audycji z cyklu „O matematyce i matematykach” prof. Czesław Bagiński opowiada o Problemach Milenijnych – siedmiu najważniejszych wyzwaniach współczesnej matematyki, za których rozwiązanie ustanowiono nagrodę miliona dolarów. Uwagę skupia na jedynym z nich, który doczekał się pełnego rozstrzygnięcia: Hipotezie Poincarégo.
W roku dwa tysiące Clay Mathematics Institute ogłosił listę siedmiu problemów uznanych za kluczowe dla rozwoju matematyki, a także fizyki i informatyki. Każdy z nich opatrzono nagrodą w wysokości jednego miliona dolarów. Komisji przewodniczył Andrew Wiles, autor przełomowego dowodu Hipotezy Fermata. Choć same problemy nie były nowe, ich znaczenie pozostawało fundamentalne. Najstarszym z nich jest Hipoteza Riemanna z połowy XIX wieku, najmłodszym – problem Yang–Millsa związany z kwantową teorią pola.
Posłuchaj audycji Problemy Milenijne – Hipoteza Poincarégo.
Po ćwierćwieczu od ogłoszenia listy tylko jeden z problemów został rozwiązany w pełni. To właśnie Hipoteza Poincarégo, której autor i sens stają się głównym tematem audycji.
Twórcą hipotezy był Jules Henri Poincaré, jeden z najwybitniejszych umysłów przełomu XIX i XX wieku. Urodzony w Nancy w rodzinie o silnych tradycjach akademickich, szybko dał się poznać jako matematyk niezwykle wszechstronny. Zajmował się niemal wszystkimi działami matematyki, w każdym wnosząc istotny wkład. Słynął z fenomenalnej pamięci i intuicji, czasem kosztem drobiazgowej formalizacji dowodów.
W 1910 roku europejscy matematycy wskazali Poincarégo jako najwybitniejszego uczonego swojej epoki – zdecydowanie przed Davidem Hilbertem. Zmarł nagle w wieku zaledwie pięćdziesięciu ośmiu lat, dzień po rutynowym zabiegu operacyjnym.
Jednym z jego najważniejszych dzieł była praca Analysis Situs, uznawana za fundament topologii i topologii algebraicznej. To właśnie na jej gruncie sformułowana została Hipoteza Poincarégo, dotycząca klasyfikacji trójwymiarowych rozmaitości. Choć brzmi to abstrakcyjnie, problem dotyczy bardzo podstawowego pytania: kiedy skomplikowany obiekt przestrzenny jest – z topologicznego punktu widzenia – odpowiednikiem trójwymiarowej sfery.
Profesor Bagiński tłumaczy to, odwołując się do intuicji z niższych wymiarów. Powierzchnia kuli, czyli sfera, lokalnie przypomina płaszczyznę. Globalnie jednak wymaga zanurzenia w przestrzeni o wyższym wymiarze. Analogicznie jest z trójwymiarową sferą S³ – obiektem, który lokalnie wygląda jak zwykła przestrzeń, lecz globalnie nie mieści się w trzech wymiarach. Istnieją nawet hipotezy kosmologiczne sugerujące, że Wszechświat może mieć właśnie taką strukturę.
Hipoteza Poincarégo głosiła, że każda trójwymiarowa rozmaitość spełniająca określone warunki topologiczne musi być topologicznie równoważna sferze S³. Przez niemal sto lat pozostawała jednym z największych nierozwiązanych problemów matematyki – aż do początku XXI wieku, gdy doczekała się ostatecznego rozstrzygnięcia.
(AJ)
Czytaj także:
O matematyce i matematykach: Paul Erdős – życie w drodze i matematyka problemów
