Kurt Gödel jako młody student Uniwersytetu Wiedeńskiego – jeden z najwybitniejszych logików XX wieku. Fotografia z rodzinnego albumu Gödlów (ok. 1924–1927).
W najnowszej audycji z cyklu „O matematyce i matematykach” dr hab. Czesław Bagiński znów udowadnia, że wielkie idee matematyki zaczynają się od prostych obserwacji. Tym razem punktem wyjścia jest słowo „nieskończoność” – tak często używane w codziennym języku, a jednocześnie skrywające cały świat liczb pozaskończonych, których naturę trudno nam pojąć.
Autor przypomina, że tak jak dzieci określają każdą większą liczbę słowem „dużo”, tak samo dorośli mówią o „nieskończoności”, nie zdając sobie sprawy, że kryje się w niej cała hierarchia wielkości. Najmniejszą z nich jest ℵ₀ – liczebność zbioru liczb naturalnych. Dalej zaczyna się kraina paradoksów i pytań, na które matematycy przez dekady szukali odpowiedzi.
Posłuchaj audycji „Kurt Gödel – gdy logika matematyczna zderza się z logiką codziennych wyborów” cz. 1.
Dr hab. Bagiński prowadzi słuchaczy od prostych przykładów – takich jak liczba podzbiorów niewielkich zbiorów – aż po continuum, czyli liczebność zbioru liczb rzeczywistych. To właśnie różnica między ℵ₀ i continuum stała się jednym z najważniejszych problemów w historii matematyki. Georg Cantor postawił Hipotezę Continuum już w 1878 roku, a David Hilbert umieścił ją na swojej słynnej liście problemów w 1900 roku. Okazało się jednak, że rozwiązanie tego zadania nie jest proste.
W 1940 roku młody austriacki matematyk Kurt Gödel udowodnił, że Hipoteza Continuum jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości. To jednak nie kończyło sprawy. W 1963 roku Paul Cohen wykazał, że równie niesprzeczne jest… jej zaprzeczenie. Matematycy stanęli więc przed zaskakującą sytuacją – można zbudować dwie różne teorie mnogości, obie wewnętrznie spójne, różniące się jedynie przyjęciem lub odrzuceniem Hipotezy Continuum. To jeden z najciekawszych momentów w historii współczesnej logiki.
W audycji profesor Bagiński przypomina również biografię Gödel’a – genialnego logika urodzonego w Brnie, który od wczesnej młodości zachwycał nauczycieli niezwykłymi zdolnościami. Studiował w Wiedniu, gdzie jego karierę ukształtowały wybitne wykłady Furtwänglera – matematyka sparaliżowanego od szyi w dół, ale obdarzonego absolutną pamięcią i precyzją. To tam Gödel wciągnął się w logikę matematyczną, w 1929 roku obronił doktorat, a dwa lata później sformułował swoje słynne twierdzenia o niezupełności, które na zawsze zmieniły oblicze nauki.
Autor audycji wspomina także osobistą dygresję – o śp. profesorze Janie Krempie, wybitnym algebraiku związanym z Białymstokiem, który mimo niewidomości recenzował jego doktorat, odnajdując wszystkie błędy… nawet w czytanych na taśmie wzorach.
To wprowadzenie do opowieści o człowieku, który udowodnił, że nawet najdoskonalszy system matematyczny ma swoje granice. W kolejnym tygodniu dr hab. Bagiński zapowiada kontynuację historii Gödel’a – tym razem o jego słynnym twierdzeniu, które stało się jednym z fundamentów logiki XX wieku. (AJ)
Czytaj także:
Wiadomości – Georg Cantor i jego niebezpieczne zabawy z nieskończonością cz. 1
Wiadomości – Georg Cantor i jego niebezpieczne zabawy z nieskończonością – cz. 2
